Математическая физика и компьютерное моделирование2587-63252587-690210.15688/mpcm.jvolsu.2023.2.1OtherПостроение С1-гладких кусочно-квадратичных функций при решении краевых задач уравнений 4-го порядка на треугольной сеткеConstruction of C1-smooth piecewise quadratic functions for solving boundary value problems of 4th order equations on a triangular gridКлячинАлексей АлександровичKlyachinAleksey A.klyachin-aa@yandex.ruhttps://orcid.org/0000-0003-3293-9066ВеревкинИлья ЮрьевичVerevkinIlya Y.prorokk-iliya@yandex.ruVolgograd State University (Volgograd, Russian Federation)Волгоградский государственный университет (Волгоград, Российская Федерация)Volgograd State University(Volgograd, Russian Federation)Волгоградский государственный университет( г. Волгоград, Российская Федерация)200520232625151004202312052023https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/CC BY-NC 4.0

В настоящей работе представлен один подход построения непрерывно дифференцируемых кусочно-квадратичных функций на треугольной сетке, основанный на сглаживании кусочно-линейной функции в окрестности ребер и узлов триангуляции. Разработанный метод не требует решения систем линейных алгебраических уравнений как при построении сплайнов. Данное обстоятельство позволило применить этот класс функций для приближенного решения краевых задач уравнения 4-го порядка.

In this paper, we present one approach to constructing continuously differentiable piecewise-quadratic functions on a triangular grid, based on smoothing a piecewise-linear function in the vicinity of edges and triangulation nodes. In the works [7;8], the issues of approximation of the functional (1) in triangular grids and the convergence of the variational method for solving the boundary value problem of the equation (2) were studied. However, in the numerical solution there are difficulties associated with the construction of continuously differentiable piecewise polynomial functions on triangulations. In particular, their construction requires solving large systems of equations at each step of the variational method. When trying to get by with only continuous piecewise polynomial functions, we got a negative result (divergence of approximate solutions was found) [9]. In this paper, we circumvent the difficulties that arise — we indicate a method for constructing piecewise polynomial functions that have continuous partial derivatives. With the help of this class of functions, we have obtained formulas for approximating the functional (1) and tested the method on the example of a biharmonic equation.

бигармонические функциитреугольная сеткакусочно-полиномиальные функциипогрешность вычисленияметод градиентного спускаbiharmonic functionstriangular gridpiecewise polynomial functionscalculation errorgradient descent methodБерикелашвили, Г. К. О скорости сходимости разностного решения первой краевой задачи для эллиптического уравнения четвертого порядка / Г. К. Берикелашвили // Дифференц. уравнения. — 1999. — № 35 (7). — C. 958–963.Боган, Ю. А. О методе потенциала для эллиптического уравнения четвертого порядка из анизотропной теории упругости / Ю. А. Боган // Сиб. журн. индустр. матем. — 2000. — № 3 (2). — C. 29–34.Вабищевич, П. Н. Численное решение вариационных эллиптических неравенств четвертого порядка / П. Н. Вабищевич // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — №24 (9). — C. 1312–1319.Карачик, В. В. Решение задачи типа Робена для бигармонического уравнения / В. В. Карачик // Изв. вузов. Матем. — 2018. — № 2. — C. 39–53. — DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X18020056Карчевский, М. М. Смешанный метод конечных элементов для неклассических граничных задач теории пологих оболочек / М. М. Карчевский // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2016. — № 158 (3). — C. 322–335.Клячин, А. А. Аппроксимация уравнений с частными производными 4-го порядка в классе кусочно-полиномиальных функций на треугольной сетке / А. А. Клячин, В. А. Клячин // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2019. — Т. 22, № 2. — C. 65–72. — DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2019.2.5Клячин, А. А. О C1-сходимости кусочно-полиномиальных решений вариационного уравнения 4-го порядка / А. А. Клячин // Уфимский математический журнал. — 2022. — №14 (3). — C. 63–73.Клячин, А. А. Оценка погрешности вычисления функционала, содержащего производные второго порядка, на треугольной сетке / А. А. Клячин // Сибирские электронные математические известия. — 2019. — № 16. — C. 1856–1867.Клячин, А. А. Построение C1-гладких кусочно-квадратичных функций при решении краевых задач уравнений 4-го порядка / А. А. Клячин // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2022. — № 25 (3). — C. 5–14. — DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2022.3.1Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. VII : Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Наука, 1987. — 248 c.Приказчикова, В. Г. Асимптотическая оценка точности дискретной спектральной задачи для уравнения четвертого порядка / В. Г. Приказчикова // Журн. вычисл. матем. и матем. физ. — 1991. — № 31(3). — C. 372–380.Уткина, Е. А. Задача Неймана для одного уравнения четвертого порядка / Е. А. Уткина // Вестн. Самар. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. — 2009. — № 2 (19). — C. 29–37.Ушаков, А. Л. Итерационная факторизация для численного решения эллиптического уравнения четвертого порядка в прямоугольной области / А. Л. Ушаков // Вестн. Южно-Урал. ун-та. Сер. Матем. Мех. Физ. — 2014. — № 6 (1). — C. 42–49.Шапеев, В. П. Решение с повышенной точностью бигармонического уравнения в нерегулярных областях методом коллокации и наименьших квадратов / В. П. Шапеев, В. А. Беляев // Вычислительные методы и программирование. — 2018. — № 19 (4). — C. 340–355.A Compact Difference Scheme for the Biharmonic Equation in Planar Irregular Domains / M. Ben-Artzi, I. Chorev, J. P. Croisille, D. Fishelov // SIAM J. Numer. Anal. — 2009. — № 47 (4). — P. 3087–3108. — DOI: https://doi.org/10.1137/080718784 16. Mutigrid Solution of Automatically Generated High-Order Discretizations for the Biharmonic Equation / I. Altas, J. Dyn, M. M. Gupta, R. P. Manohar // SIAM J. Sci. Comput. — 1998. — Vol. 19, № 5. — P. 1575–1585. — DOI: https://doi.org/10.1137/S1464827596296970 17. ˇ Zeniˇ sek, A. Interpolation Polynomials on the Triangle / A. ˇ Zeniˇ sek // Numer. Math. — 1970. — № 15. — P. 283–296Mutigrid Solution of Automatically Generated High-Order Discretizations for the Biharmonic Equation / I. Altas, J. Dyn, M. M. Gupta, R. P. Manohar // SIAM J. Sci. Comput. — 1998. — Vol. 19, № 5. — P. 1575–1585. — DOI: https://doi.org/10.1137/S1464827596296970Zeniˇsek, A. Interpolation Polynomials on the Triangle / A. ˇ Zeniˇ sek // Numer. Math. — 1970. — № 15. — P. 283–296.Berikelashvili G.K. O skorosti skhodimosti raznostnogo resheniya pervoy kraevoy zadachi dlya ellipticheskogo uravneniya chetvertogo poryadka [On the Rate of Convergence of a Difference Solution of the First Boundary Value Problem for a Fourth-Order Elliptic Equation]. Differents. uravneniya [Differential Equations], 1999, no. 35 (7), pp. 958-963.Bogan Yu.A. O metode potentsiala dlya ellipticheskogo uravneniya chetvertogo poryadka iz anizotropnoy teorii uprugosti [On the Potential Method for the Fourth Elliptic Equation Order From Anisotropic Elasticity Theory]. Sib. zhurn. industr. matem. [Siberian Journal of Industrial Mathematics], 2000, no. 3 (2), pp. 29-34.Vabishchevich P.N. Chislennoe reshenie variatsionnykh ellipticheskikh neravenstv chetvyortogo poryadka [Numerical Solution of Variational Elliptic Inequalities of the Fourth Order]. Zhurn. vychisl. matem. i matem. fiz. [J. Comput. Math. and Mat. Physical], 1984, no. 24 (9), pp. 1312-1319.Karachik V.V. Reshenie zadachi tipa Robena dlya bigarmonicheskogo uravneniya [Solving a Problem of Robin Type for Biharmonic Equation]. Izv. vuzov. Matem. [Russian Mathematics], 2018, no. 2, pp. 39-53. DOI: https://doi.org/10.3103/S1066369X18020056Karchevskiy M.M. Smeshannyy metod konechnykh elementov dlya neklassicheskikh granichnykh zadach teorii pologikh obolochek [Mixed Finite Element Method for Non-Classical Boundary Value Problems in the Theory of Shallow Shells]. Uchen. zap. Kazan. un-ta. Ser. Fiz.matem. nauki [Scientific Notes Kazan. University Ser. Phys.-Math. Sciences], 2016, no. 158 (3), pp. 322-335.Klyachin A.A., Klyachin V.A. Approksimatsiya uravneniy s chastnymi proizvodnymi 4-go poryadka v klasse kusochno-polinomialnykh funktsiy na treugolnoy setke [Approximation of 4th order Partial Differential Equations in the Class of Piecewise Polynomial Functions on a Triangular Grid]. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Physics and Computer Simulation], 2019, vol. 22, no. 2, pp. 65-72. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2019.2.5Klyachin A.A. O C1-skhodimosti kusochno-polinomialnykh resheniy variatsionnogo uravneniya 4-go poryadka [On the C1-Convergence of Piecewise Polynomial Solutions of a Fourth-Order Variational Equation]. Ufimskiy matematicheskiy zhurnal [Ufa Mathematical Journal], 2022, no. 14 (3), pp. 63-73.Klyachin A.A. Otsenka pogreshnosti vychisleniya funktsionala, soderzhashchego proizvodnye vtorogo poryadka, na treugolnoy setke [An Estimate of the Error in Calculating a Functional Containing Second-Order Derivatives on a Triangular Grid]. Sibirskie elektronnye matematicheskie izvestiya [Siberian Electronic Mathematical Reports], 2019, no. 16, pp. 1856-1867.Klyachin A.A. Postroenie C1-gladkikh kusochno-kvadratichnykh funktsiy pri reshenii kraevykh zadach uravneniy 4-go poryadka [Construction of C1-Smooth Piecewise Quadratic Functions in Solving Boundary Value Problems of 4th order Equations]. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Physics and Computer Simulation], 2022, no. 25 (3), pp. 5-14. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2022.3.1Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika: v 10 t. T. VII: Teoriya uprugosti [Course of Theoretical Physics. Vol. 7: Theory of Elasticity]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 248 p.Prikazchikova V.G. Asimptoticheskaya otsenka tochnosti diskretnoy spektralnoy zadachi dlya uravneniya chetvertogo poryadka [Asymptotic Accuracy Estimate Discrete Spectral Problem for the Fourth Order Equation]. Zhurn. vychisl. matem. i matem. fiz. [J. Comput. Math. and Mat. Physical], 1991, no. 31(3), pp. 372-380.Utkina E.A. Zadacha Neymana dlya odnogo uravneniya chetvyortogo poryadka [The Neumann Problem for One Fourth-Order Equation]. Vestn. Samar. gos. tekhn. un-ta. Ser. Fiz.-mat. nauki, 2009, no. 2 (19), pp. 29-37.Ushakov A.L. Iteratsionnaya faktorizatsiya dlya chislennogo resheniya ellipticheskogo uravneniya chetvyortogo poryadka v pryamougolnoy oblasti [Iterative Factorization for the Numerical Solution of a Fourth-Order Elliptic Equation in a Rectangular Domain]. Vestn. Yuzhno-Ural. un-ta. Ser. Matem. Mekh. Fiz. [Bulletin of the South Ural University. Ser. Mat. Mechanics Phys.], 2014, no. 6 (1), pp. 42-49.Shapeev V.P., Belyaev V.A. Reshenie s povyshennoy tochnostyu bigarmonicheskogo uravneniya v neregulyarnykh oblastyakh metodom kollokatsii i naimenshikh kvadratov [Solution with Increased Accuracy of the Biharmonic Equation in Irregular Domains by the Collocation Method and the Least Squares]. Vychislitelnye metody i programmirovanie [Numerical Methods and Programming], 2018, no. 19 (4), pp. 340-355.Ben-Artzi M., Chorev I., Croisille J.P., Fishelov D. A Compact Difference Scheme for the Biharmonic Equation in Planar Irregular Domains. SIAM J. Numer. Anal., 2009, no. 47 (4), pp. 3087-3108. DOI: https://doi.org/10.1137/080718784Altas I., Dyn J., Gupta M.M., Manohar R.P. Mutigrid Solution of Automatically Generated High-Order Discretizations for the Biharmonic Equation. SIAM J. Sci. Comput., 1998, vol. 19, no. 5, pp. 1575-1585. DOI: https://doi.org/10.1137/S1464827596296970ˇ Zeniˇ sek A. Interpolation Polynomials on the Triangle. Numer. Math., 1970, no. 15, pp. 283-296. А.А. Клячин, И.Ю. Веревкин. Построение C1