Математическая физика и компьютерное моделирование2587-63252587-690210.15688/mpcm.jvolsu.2025.4.1OtherНЕКОТОРЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СООТНОШЕНИЯ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИЕ ПАРАБОЛИЧНОСТЬ ТИПАSOME RELATIONS THAT ENSURE THE PARABOLICITY OF THE TYPEКондрашовАлександр НиколаевичKondrashovAlexanderalexander.kondrashov@volsu.ru0000-0003-1614-0393Volgograd State University (Volgograd, Russian Federation)Волгоградский государственный университет (Волгоград, Российская Федерация)301220252845230411202521112025https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/CC BY 4.0

В случае римановой метрики 𝑑𝑠2 = Σ︀2𝑖,𝑗=1 𝑔𝑖𝑗(𝑧)𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗 , заданной в R2∖𝐾 (𝐾 — компакт), известно, что одним из признаков конформной параболичности абстрактной поверхности 𝐹 = (R2 ∖ 𝐾, 𝑑𝑠2) является условие гармоничности координатных функций в данной метрике: Δ𝑥1 = 0, Δ𝑥2 = 0. Работа посвящена обобщению этого признака. В случае римановой метрики 𝑑𝑠2 = Σ︀2𝑖,𝑗=1 𝑔𝑖𝑗(𝑧)𝑑𝑥𝑖𝑑𝑥𝑗 , заданной в R2∖𝐾 (𝐾 — компакт), известно, что одним из признаков конформной параболичности абстрактной поверхности 𝐹 = (R2 ∖ 𝐾, 𝑑𝑠2) является условие гармоничности координатных функций в данной метрике: Δ𝑥1 = 0, Δ𝑥2 = 0.Работа посвящена обобщению этого признака.

This paper investigates sufficient conditions for the parabolicity type of the domain R2 ∖ 𝐾, where 𝐾 is a compact set, with respect to a general variational functional 𝐼Φ. A known criterion for the conformal parabolicity of a Riemannian metric requires that the coordinate functions be harmonic. We significantly generalize this result by establishing new differential, rather than modulcapacitary, conditions for Φparabolicity at infinity. The work introduces and studies a special class of differential 1forms, Λqc𝑥2(𝐷), which generate quasiconformal mappings used to construct appropriate mapping functions. The main results, formulated as Theorems 1 and 2, provide verifiable criteria involving the interplay between the functional Φ, a form Ψ of parabolic type, and auxiliary differential forms _ and !. These criteria are expressed via the essential boundedness of certain quantities, such as 𝒱_,Φ,Ψ, and differential inequalities involving the Hodge operator. The proofs leverage techniques from quasiconformal mapping theory, potential theory (including Perron’s method), and the calculus of variations. A key corollary generalizes the harmonic coordinate condition to the case of quadratic functionals associated with uniformly elliptic operators in divergence form. The obtained conditions are shown to be checkable in specific model situations.

параболичность типавариационная емкостьквазиконформные отображенияэллиптические операторыметод Перронаparabolicity of the typevariational capacityquasiconformal mappingselliptic operatorsPerron’s methodАльфорс, Л. Лекции по квазиконформным отображениям / Л. Альфорс. — М. : Мир, 1969. — 134 c.Белинский, П. П. Общие свойства квазиконформных отображений / П. П. Белинский. — Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1974. — 100 c.Волковыский, Л. И. Квазиконформные отображения / Л. И. Волковыский. — Львов : Изд-во Львов. ун-та, 1954. — 156 c.Гольдштейн, В. М. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения / В. М. Гольдштейн, Ю. Г. Решетняк. — М. : Наука, 1983. — 284 c.Жуков, В. А. Об одном доказательстве теоремы о существовании полного дифференциала функций класса 𝑊1𝑝 / В. А. Жуков // Тр. Том. ун-та. Сер.: Механика, математика. — 1966. — Т. 189. — C. 13–17.Зубанкова, К. А. Об асимптотическом поведении решений стационарного уравнения Шредингера на некомпактных римановых многообразиях / К. А. Зубанкова, Е. А. Мазепа, Н. М. Полубоярова // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2023. — Т. 26, № 4. — C. 18–30. — DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2023.4.2Условия параболического и гиперболического типов непараметрической поверхности / В. М. Кесельман, Т. Р. Игонина, О. Ю. Козлова, О. Р. Параскевопуло // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2024. — Т. 27, № 3. — C. 27–37. — DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2024.3.3Кондрашов, А. Н. Об одном признаке параболичности римановой метрики на плоскости / А. Н. Кондрашов // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 1999. — № 4. — C. 13–19.Кондрашов, А. Н. Граничные классы некомпактных римановых многообразий и метод Перрона / А. Н. Кондрашов // Функциональный анализ и его приложения. — 2025. — Т. 59, № 2. — C. 74–111. — DOI: https://doi.org/10.1134/S1234567825020077Ландис, Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов / Е. М. Ландис. — М. : Наука, 1971. — 288 c.Лосев, А. Г. Гармонические потенциалы на некомпактных римановых многообразиях / А. Г. Лосев // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2024. — Т. 27, № 3. — C. 6–14. — DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2024.3.1Миклюков, В. М. Об одном новом подходе к теореме Бернштейна и близким вопросам уравнений типа минимальной поверхности / В. М. Миклюков // Матем. сб. — 1979. — Т. 108 (150), № 2. — C. 268–289. — DOI: https://doi.org/10.1070/SM1980v036n02ABEH001805Миклюков, В. М. Некоторые признаки параболичности и гиперболичности граничных множеств поверхностей / В. М. Миклюков // Изв. РАН. Сер. мат. — 1996. — Т. 60, № 4. — C. 111–158. — DOI: https://doi.org/10.1070/IM1996v060n04ABEH000080Миклюков, В. М. Введение в негладкий анализ / В. М. Миклюков. — Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2008. — 424 c.Миклюков, В. М. О некоторых признаках существования полного дифференциала / В. М. Миклюков // Сиб. матем. журн. — 2010. — Т. 51, № 4. — C. 805–814. — DOI: https://doi.org/10.1070/SM2010v201n08ABEH004107Оссерман, Р. Минимальные поверхности / Р. Оссерман // УМН. — 1967. — Т. 22, № 4. — C. 55–136.Зорич, В. А. О конформном типе риманова многообразия / В. А. Зорич, В. М. Кессельман // Функциональный анализ и его приложения. — 1996. — Т. 30, № 2. — C. 40–55. — DOI: https://doi.org/10.4213/faa520Ahlfors, L. Sur le type d’une surface de Riemann / L. Ahlfors // C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A. — 1935. — Vol. 201. — P. 30–32.Astala, K. Elliptic Partial Differential Equations and Quasiconformal Mappings in the Plane / K. Astala, T. Iwaniec, G. Martin. — Princeton : Princeton University Press, 2008. — 696 p.Gehring, F. W. On the total differentiability of functions of a complex variable / F. W. Gehring, O. Lehto // Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. Ser. A I. — 1959. — Vol. 272. — P. 3–9.Heinonen, J. Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations / J. Heinonen, T. Kilpel‥ainen, O. Martio. — New York : Clarendon Press, 1993. — 404 p.Hildebrandt, S. Liouville Theorems for Harmonic Mappings and Approach to Bernstein Theorems / S. Hildebrandt // Ann. Math. Stud. — 1982. — Vol. 102. — P. 107–131.Mal’y, J. Absolutely Continuous Functions of Several Variables / J. Mal’y // J. Math. Anal. Appl. — 1999. — Vol. 231. — P. 492–508.Mal’y, J. Sufficient Conditions for Change of Variables in Integral. Vodop’yanov S.K., ed / J. Mal’y // Proceedings on analysis and geometry. International Conference in Honor of the 70𝑡ℎ Birthday of Professor Yu.G. Reshetnyak. — : Novosibirsk, Izd-vo In-ta matematiki im. S.L. Soboleva SO RAN, 2000. — P. 370–386.Milnor, J. On Deciding Whether a Surface is Parabolic or Hyperbolic / J. Milnor // Amer. Math. Monthly. — 1977. — Vol. 84, № 1. — P. 43–46.Yau, S. T. Nonlinear Analysis in Geometry / S. T. Yau // L’Enseignement Math’ematique. — 1987. — Vol. 33. — P. 109–158.Alfors L. Lectures on Quasiconformal Mappings. Moscow, Mir Publ., 1969. 134 p.Belinskiy P.P. General Properties of Quasiconformal Mappings. Novosibirsk, Nauka. Publ. Sib. Otd-niye, 1974. 100 p.Volkovyskiy L.I. Quasiconformal Mappings. Lvov, Izd-vo Lvov. un-na, 1954. 156 p.Goldshteyn V.M., Reshetnyak Yu.G. Introduction to the Theory of Functions with Generalized Derivatives and Quasiconformal Mappings. Moscow, Nauka Publ., 1983. 284 p.Zhukov V.A. On One Proof of the Theorem on the Existence of a Total Differential for Functions of Class 𝑊1𝑝 . Tr. Tom. un-ta. Ser.: Mekhanika, matematika [Proceedings of Tomsk University. Series: Mechanics, Mathematics], 1966, vol. 189, pp. 13-17.Zubankova K.A., Mazepa E.A., Poluboyarova N.M. On the Asymptotic Behavior of Solutions of the Stationary Schr‥odinger Equation on Non-Compact Riemannian Manifolds. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Physics and Computer Simulation], 2023, vol. 26, no. 4, pp. 18-30. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2023.4.2Keselman V.M., Igonina T.R., Kozlova O.Yu., Paraskevopulo O.R. Conditions of Parabolic and Hyperbolic Types of Nonparametric Surface. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie, 2024, vol. 27, no. 3, pp. 27-37. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2024.3.3Kondrashov A.N. On a Criterion of Parabolicity for a Riemannian Metric on the Plane. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika [Bulletin of Volgograd State University. Series 1: Mathematics. Physics], 1999, no. 4, pp. 13-19.Kondrashov A.N. Boundary Classes of Non-Compact Riemannian Manifolds and Perron’s Method. Funktsionalnyy analiz i ego prilozheniya [Functional Analysis and Its Applications], 2025, vol. 59, no. 2, pp. 74-111. DOI: https://doi.org/10.1134/S1234567825020077Landis E.M. Second-Order Equations of Elliptic and Parabolic Types. Moscow, Nauka Publ, 1971. 288 p.Losev A.G. Harmonic Potentials on Non-Compact Riemannian Manifolds. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Physics and Computer Simulation], 2024, vol. 27, no. 3, pp. 6-14. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2024.3.1Miklyukov V.M. On a New Approach to Bernstein’s Theorem and Related Questions of Minimal Surface Type Equations. Matem. sb. [Sbornik: Mathematics], 1979, vol. 108 (150), no. 2, pp. 268-289. DOI: https://doi.org/10.1070/SM1980v036n02ABEH001805Miklyukov V.M. Some Criteria of Parabolicity and Hyperbolicity for Boundary Sets of Surfaces. Izv. RAN. Ser. mat. [Izvestiya: Mathematics], 1996, vol. 60, no. 4, pp. 111-158. DOI: https://doi.org/10.1070/IM1996v060n04ABEH000080Miklyukov V.M. Introduction to Nonsmooth Analysis. Volgograd, Izd-vo VolGU, 2008. 424 p.Miklyukov V.M. On Some Criteria for the Existence of a Total Differential. Sib. matem. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 2010, vol. 51, no. 4, pp. 805-814. DOI: https://doi.org/10.1070/SM2010v201n08ABEH004107Osserman R. Minimal Surfaces. UMN [Russian Mathematical Surveys], 1967, vol. 22, no. 4, pp. 55-136.Zorich V.A., Kesselman V.M. On the Conformal Type of a Riemannian Manifold. Funktsionalnyy analiz i ego prilozheniya [Functional Analysis and Its Applications], 1996, vol. 30, no. 2, pp. 40-55. DOI: https://doi.org/10.4213/faa520Ahlfors L. Sur Le Type D’une Surface de Riemann. C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A, 1935, vol. 201, pp. 30-32.Astala K., Iwaniec T., Martin G. Elliptic Partial Differential Equations and Quasiconformal Mappings in the Plane. Princeton, Princeton University Press, 2008. 696 p.Gehring F.W., Lehto O. On the Total Differentiability of Functions of a Complex Variable. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. Ser. A I, 1959, vol. 272, pp. 3-9.Heinonen J., Kilpel‥ainen T., Martio O. Nonlinear Potential Theory of Degenerate Elliptic Equations. New York, Clarendon Press, 1993. 404 p.Hildebrandt S. Liouville Theorems for Harmonic Mappings and Approach to Bernstein Theorems. Ann. Math. Stud., 1982, vol. 102, pp. 107-131.Mal’y J. Absolutely Continuous Functions of Several Variables. J. Math. Anal. Appl., 1999, vol. 231, pp. 492-508.Mal’y J. Sufficient Conditions for Change of Variables in Integral. Vodop’yanov S.K., ed. Proceedings on analysis and geometry. International Conference in Honor of the 70𝑡ℎ Birthday of Professor Yu.G. Reshetnyak. Novosibirsk, Izd-vo In-ta matematiki im. S.L. Soboleva SO RAN, 2000, pp. 370-386.Milnor J. On Deciding Whether a Surface Is Parabolic Or Hyperbolic. Amer. Math. Monthly, 1977, vol. 84, no. 1, pp. 43-46.Yau S.T. Nonlinear Analysis in Geometry. L’Enseignement Math’ematique, 1987, vol. 33, pp. 109-158.