Математическая физика и компьютерное моделирование2587-63252587-690210.15688/mpcm.jvolsu.2024.3.6OtherПОСТРОЕНИЕ МИНИМАЛЬНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННОЙ ПОВЕРХНОСТИ МЕТОДОМ МИНИМИЗАЦИИ ИНТЕГРАЛА ДИРИХЛЕCONSTRUCTION OF A MINIMAL PARAMETRICALLY SPECIFIED SURFACE BY THE METHOD OF MINIMIZING THE DIRICHLET INTEGRALПятилетоваИрина ВладимировнаPyatiletovaIrinai.v.truhlyaeva@volsu.ru0000-0002-3489-8918БичераховаОльга СергеевнаBicherakhovaOlgamm-231_965942@volsu.ru0009-0000-3089-6029Volgograd State University (Volgograd, Russian Federation)Волгоградский государственный университет (Волгоград, Российская Федерация)0501202427367793107202407082024https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/CC BY 4.0

В статье исследуется задача о построении приближенных полиномиальных решений уравнения минимальной поверхности. На основе представления Вейерштрасса — Эннепера разработан алгоритм численного моделирования минимальных поверхностей. На языке Python был реализован алгоритм, позволяющий рассчитывать приближенные минимальные поверхности в классе полиномиальных вектор-функций, заданных на единичном круге и удовлетворяющих краевому условию Дирихле (задача Плато).

In this paper we consider the polynomial approximate solutions of the Dirichlet problem for minimal surface equation. It is shown that under certain conditions on the geometric structure of the domain the absolute values of the gradients of the solutions are bounded as the degree of these polynomials increases. The obtained properties imply the uniform convergence of approximate solutions to the exact solution of the minimal surface equation. In numerical solving of boundary value problems for equations and systems of partial differential equations, a very important issue is the convergence of approximate solutions. The study of this issue is especially important for nonlinear equations since in this case there is a series of difficulties related with the impossibility of employing traditional methods and approaches used for linear equations. At present, a quite topical problem is to determine the conditions ensuring the uniform convergence of approximate solutions obtained by various methods for nonlinear equations and system of equations of variational kind. In this case, it is natural to employ variational methods of solving boundary value problems. And this is an issue on the justification of these methods arises, which is reduced to studying general properties of approximate solutions. In the course of this work, an algorithm for numerical modeling of minimal surfaces was developed based on the Weierstrass-Enneper representation. An algorithm was also implemented in Python that allows you to calculate approximate minimal surfaces in the class of polynomial vector functions defined on the unit disk and satisfying the boundary condition Dirichlet (Plateau problem).

уравнение минимальной поверхностиравномерная сходимостьприближенное решениеаппроксимация уравненияоценка равномерной сходимостиminimal surface equationuniform convergenceapproximate solutionapproximation equationaccuracy equal convergenceБерезин, И. С. Методы вычислений / И. С. Березин, Н. П. Жидков. — М. : Физматлит, 1959. — 620 c.Веденяпин, А. Д. Внешние размеры трубчатых минимальных гиперповерхностей / А. Д. Веденяпин, В. М. Миклюков // Матем. сб. — 1986. — Т. 173, № 2. — C. 240–250.Гацунаев, М. А. О равномерной сходимости кусочно-линейных решений уравнения минимальной поверхности / М. А. Гацунаев, А. А. Клячин // Уфимский математический журнал. — 2014. — Т. 24, № 3 (6). — C. 3–16.Клячин, А. А. Визуализация расчета формы поверхностей минимальной площади / А. А. Клячин, В. А. Клячин, Е. Г. Григорьева // Научная визуализация. — 2014. — Т. 2, № 6. — C. 34–42.Клячин, А. А. О скорости сходимости последовательности, доставляющей минимум в вариационной задаче / А. А. Клячин // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 1, Математика. Физика. — 2012. — Т. 16, № 1. — C. 12–20. — DOI: http://dx.doi.org/10.15688/jvolsu1.2012.1.2Клячин, А. А. О сходимости полиномиальных приближенных решений уравнения минимальной поверхности / А. А. Клячин, И. В. Трухляева // Уфимский математический журнал. — 2016. — Т. 8, № 1. — C. 72–83.Курант, Р. Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности / Р. Курант. — М. : ИЛ, 1953. — 512 c.Миклюков, В. М. Некоторые особенности поведения решений уравнений типа минимальной поверхности в неограниченных областях / В. М. Миклюков // Матем. сб. — 1981. — Т. 116 (158), № 1 (9). — C. 72–86.Миклюков, В. М. О некоторых свойствах трубчатых минимальных поверхностей в 𝑅𝑛 / В. М. Миклюков // Докл. АН СССР. — 1979. — Т. 247, № 3. — C. 549–552.Миклюков, В. М. О строении в целом внешне полных минимальных поверхностей в 𝑅3 / В. М. Миклюков, В. Г. Ткачев // Изв. вузов. Математика. — 1987. — № 7. — C. 30–36.Михлин, С. Г. Вариационные методы в математической физике / С. Г. Михлин. — М. : Наука, 1970. — 512 c.Фоменко, А. Т. Минимальные поверхности / А. Т. Фоменко // Научно-популярный физико-математический журнал Квант. — 1983. — № 6. — C. 18–25.Фоменко, А. Т. Наглядная геометрия и топология. Математические образы в реальном мире / А. Т. Фоменко. — М. : Изд-во Моск. ун-та : Изд-во .ЧеРо., 1998. — 416 c.Bassanezi, R. C. The Dirichlet Problem for the Minimal Surface Equation in Non-Regular Domains / R. C. Bassanezi, U. Massari // Ann. Univ. Ferrara. — 1978. — Vol. 24. — P. 181–189.Douglas, J. Solution of the Problem of Plateau / J. Douglas // Trans. Amer. Math. Soc. — 1931. — Vol. 33, № 1. — P. 263–321.Fomenko, A. T. The Plateau Problem / A. T. Fomenko. — New York : Gordon and Breach Science Publishers, 1990. — 219 p.Jenkins, H. The Dirichlet Problem for the Minimal Surface Equation in Higher Dimension / H. Jenkins, J. Serrin // J. ReineAngew. Math. — 1968. — Vol. 229. — P. 170–187.Rado, T. The Problem of the Least Area and the Problem of Plateau / T. Rado // J. d’Analyse Math. Z. — 1930. — Vol. 32. — P. 763–796.Berezin I.S., Zhidkov N.P. Metody vychisleniy [Computing Method]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1959. 620 p.Vedenyapin A.D., Miklyukov V.M. Vneshnie razmery trubchatykh minimalnykh giperpoverkhnostey [Extrinsic Dimensions of Tubular Minimal Hypersurfaces]. Matem. sb., 1986, vol. 173, no. 2, pp. 240-250.Gatsunaev M.A., Klyachin A.A. O ravnomernoy skhodimosti kusochno-lineynykh resheniy uravneniya minimalnoy poverkhnosti [On Uniform Convergence of Piecewise-Linear Solutions to Minimal Surface Equation]. Ufimskiy matematicheskiy zhurnal, 2014, vol. 24, no. 3 (6), pp. 3-16.Klyachin A.A., Klyachin V.A., Grigoryeva E.G. Vizualizatsiya rascheta formy poverkhnostey minimalnoy ploshchadi [Visualisation of Calculating the Form of Minimal Area Surface]. Nauchnaya vizualizatsiya, 2014, vol. 2, no. 6, pp. 34-42.Klyachin A.A. O skorosti skhodimosti posledovatelnosti, dostavlyayushchey minimum v variatsionnoy zadache [On Convergence Rate of Sequence Providing Minimum in Variational Problem]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya 1, Matematika. Fizika, 2012, vol. 16, no. 1, pp. 12-20. DOI: http://dx.doi.org/10.15688/jvolsu1.2012.1.2Klyachin A.A., Trukhlyaeva I.V. O skhodimosti polinomialnykh priblizhennykh resheniy uravneniya minimalnoy poverkhnosti [On Convergence of Polynomial Solutions of Minimal Surface]. Ufimskiy matematicheskiy zhurnal, 2016, vol. 8, no. 1, pp. 72-83.Kurant R. Printsip Dirikhle, konformnye otobrazheniya i minimalnye poverkhnosti [Dirichlet’s Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces]. Moscow, IL Publ., 1953. 512 p.Miklyukov V.M. Nekotorye osobennosti povedeniya resheniy uravneniy tipa minimalnoy poverkhnosti v neogranichennykh oblastyakh [Some Singularities in the Behavior of Solutions of Equations of Minimal-Surface Type in Unbounded Domains]. Matem. sb., 1981, vol. 116 (158), no. 1 (9), pp. 72-86.Miklyukov V.M. O nekotorykh svoystvakh trubchatykh minimalnykh poverkhnostey v 𝑅𝑛 [On Some Properties of Tubular Minimal Surfaces in 𝑅𝑛]. Dokl. AN SSSR, 1979, vol. 247, no. 3, pp. 549-552.Miklyukov V.M., Tkachev V.G. O stroenii v tselom vneshne polnykh minimalnykh poverkhnostey v 𝑅3 [On the Global Structure of Externally Complete Minimal Surfaces in 𝑅3]. Izv. vuzov. Matematika [Soviet Mathematics (Iz VUZ)], 1987, no. 7, pp. 30-36.Mikhlin S.G. Variatsionnye metody v matematicheskoy fizike [Variational Methods in Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1970. 512 p.Fomenko A.T. Minimalnye poverkhnosti [Minimum Surfaces]. Nauchno-populyarnyy fiziko-matematicheskiy zhurnal Kvant, 1983, no. 6, pp. 18-25.Fomenko A.T. Naglyadnaya geometriya i topologiya. Matematicheskie obrazy v realnom mire [(Visual Geometry and Topology. Geometrical Images in the Real World]. Moscow, Izd-vo Mosk. un-ta, Izd-vo .CheRo., 1998. 416 p.Bassanezi R.C., Massari U. The Dirichlet Problem for the Minimal Surface Equation in Non-Regular Domains. Ann. Univ. Ferrara, 1978, vol. 24, pp. 181-189.Douglas J. Solution of the Problem of Plateau. Trans. Amer. Math. Soc., 1931, vol. 33, no. 1, pp. 263-321.Fomenko A.T. The Plateau Problem. New York, Gordon and Breach Science Publishers, 1990. 219 p.Jenkins H., Serrin J. The Dirichlet Problem for the Minimal Surface Equation in Higher Dimension. J. ReineAngew. Math., 1968, vol. 229, pp. 170-187.Rado T. The Problem of the Least Area and the Problem of Plateau. J. d’Analyse Math. Z., 1930, vol. 32, pp. 763-796.