Математическая физика и компьютерное моделирование2587-63252587-690210.15688/mpcm.jvolsu.2023.1.1OtherЯвное представление сокращенных в размерности уравнений Эйлера сжимаемой жидкости и полной системы уравнений гидродинамики в интегральной формеExplicit Representation of the Reduced Euler Equations of a Compressible Fluid and the Complete System of Hydrodynamic Equations in Integral FormЗайцевМаксим ЛеонидовичZaytsevMaksim L.mlzaytsev@gmail.comАккерманВячеслав БорисовичAkkermanVyacheslav B.Vyacheslav.Akkerman@mail.wvu.eduBusiness(Moscow, Russian Federation)Бизнес(г. Москва, Российская Федерация)West Virginia University( Morgantown, USA)Университет Западной Вирджинии (г. Моргантаун, США)010220232615221312202102022023https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/CC BY 4.0

Большой научный интерес представляют различные способы сведения полной системы гидродинамических уравнений по объему к системе уравнений на поверхности. В статье получены в явном виде «стационарные» системы интегро-дифференциальных уравнений, которые являются следствиями нестационарных уравнений Эйлера сжимаемой жидкости и полной системы уравнений гидродинамики и у которых производные по времени отсутствуют. Использован метод редукции переопределенных систем дифференциальных уравнений, предложенный ранее авторами и обобщенный очевидным образом на случай интегро-дифференциальных уравнений. Эволюция всего потока в объеме задается изменяющимися во времени данными на некоторой поверхности этого потока. Если к ним задать корректную задачу, то мы можем определить весь нестационарный поток в объеме без решения нестационарной задачи. Особенность данной работы заключается в том, что все сокращенные в размерности уравнения получены в явном виде, в отличие от предыдущих работ авторов, где предлагалось до 200–500 уравнений с сокращенной размерностью, которые очень сложно исследовать и моделировать. Получены также новые нестационарные интегральные уравнения, которые определяют эволюцию потока. Также предлагается новый способ переопределения любой системы УрЧП с помощью общего интегрального соотношения по пространству, следующего из теоремы разложения Гельмгольца.

Euler equations of a compressible fluid and the complete system of hydrodynamic equations are reduced to “stationary” integral-differential equations where time derivatives are absent. Such a procedure (3D → 2D, 2D → 1D) makes it possible to reduce the dimension of the problem by one, which significantly reduces the necessary computing power when modeling them. If to set the correct problem, then one can determine the entire unsteady flow in the volume without solving the unsteady problem. It is enough to set time-varying data only on some surface of this stream, which must be determined independently. The peculiarity of this work is that all equations reduced in dimension are obtained in explicit form, unlike previous works of the authors, where up to 200–500 equations with reduced dimension were proposed, which are very difficult to study and model. In previous authors’ work, dimensionality was reduced by reducing overdetermined systems of differential equations. In this method, in the case of a successful choice of an additional constraint equation for overdetermined systems of differential equations, there is a reduction to PDE systems of dimension less than that of the original PDE systems. The method that is used to reduce the dimension of the Euler equations and the complete system of hydrodynamic equations in this paper is actually a special case of the above. The technique of dimensional reduction in overdetermined systems of PDEs is obviously generalized to the case of integral-differential equations. The article also obtained integral equations in new variables (Lagrangian and pseudo-Lagrangian), which determine the evolution of the flow. Also, a new method is proposed for overdetermination of any system of PDEs using the general integral space relation, which is consequence of the Helmholtz decomposition theorem.

переопределенные системы дифференциальных уравненийразмерность дифференциальных уравненийгидродинамика, уравнения Эйлерасжимаемая жидкостьинтегро-дифференциальные уравненияредукцияoverdetermined systems of differential equationsdimension of differential equationshydrodynamicsEuler equationscompressible fluidintegrodifferential equations, reductionАккерман,В.Б.Снижение размерности в уравнениях гидродинамики/В.Б.Аккерман, М.Л.Зайцев//ЖВММФ.—2011.—Т.51,№8.—C.1518–1530.Велихов, Е. П. Физические явления в газоразрядной плазме / Е. П. Велихов, А. С. Ковалев, А. Т. Рахимов. — М. : Наука, 1987. — 160 c.Зайцев, М. Л. Гипотеза об упрощении переопределенных систем дифференциальных уравнений и ее применение к уравнениям гидродинамики / М. Л. Зайцев, В. Б. Аккерман // Вестник ВГУ. Серия: Физика. Математика. — 2015. — № 2. — C. 5–27.Зайцев, М. Л. К нелинейной теории движения поверхностей гидродинамических разрывов / М. Л. Зайцев, В. Б. Аккерман // ЖЭТФ. — 2009. — Т. 135, № 4. — C. 800–819.Зайцев, М. Л. Метод описания стационарного фронта реакции в двухмерном потоке / М. Л. Зайцев, В. Б. Аккерман // Письма в ЖЭТФ. — 2010. — Т. 92, № 11. — C. 813–816.Зайцев, М. Л. Редукция переопределенных систем дифференциальных уравнений математической физики / М. Л. Зайцев, В. Б. Аккерман // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2017. — Т. 20, № 4. — C. 43–67. — DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2017.4.5Зайцев, М. Л. Явное представление сокращенных в размерности уравнений Эйлера и Навье — Стокса несжимаемой жидкости в интегральной форме / М. Л. Зайцев, В. Б. Аккерман // Математическая физика и компьютерное моделирование. — 2022. — Т. 25, № 1. — C. 5–20. — DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2022.1.1Ландау, Л. Д. Теоретическая физика : в 10 т. Т. VI : Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Наука, 1986. — 736 c.Математическая теория горения и взрыва / Я. Б. Зельдович, Г. И. Баренблат, В. Б. Либрович, Г. М. Махвиладзе. — М. : Наука, 1980. — 478 c.Мержанов, А. Г. Теория волн горения в гомогенных средах / А. Г. Мержанов, Б. И. Хайкин. — Черноголовка : Из-во ОИХФ РАН, 1992. — 162 c.Напартович, А. П. Механизмы неустойчивости тлеющего разряда повышенного давления / А. П. Напартович, А. Н. Старостин // Химия плазмы. — М. : Атомиздат, 1979. — Вып. 6. — C. 153–208.Недоспасов, А. В. Колебания и неустойчивости низкотемпературной плазмы / А. В. Недоспасов, В. Д. Хаит. — М. : Наука, 1979. — 168 c.Самарский, А. А. Разностные методы решения задач газовой динамики / А. А. Самарский, Ю. П. Попов. — М. : Наука, 1980. — 352 c.Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М. : Изд-во МГУ, 1999. — 799 c.Book, D. L. Rayleigh-Taylor instability in the “shallow-water” approximation / D. L. Book, E. Ott, A. L. Sulton // Phys. Fluids. — 1974. — Vol. 17, № 4. — P. 676–678.Bychkov, V. Nonlinear equation for a curved stationary flame and the flame velocity / V. Bychkov // Phys. Fluids. — 1998. — Vol. 10, № 8. — P. 2091–2098.Law, C. K. Combustion Physics / C. K. Law. — N. Y. : Cambridge University press, 2006. — 720 p.Ott, E. Nonlinear evolution of the Rayleigh − Taylor instability of thin layer / E. Ott // Phys. Rev. Lett. — 1972. — Vol. 29. — P. 1429–1432.Sivashinsky, G. I. Nonlinear analysis of hydrodynamics instability in laminar flames. Derivation of basic equations / G. I. Sivashinsky // Acta Astronaut. — 1977. — Vol. 4. — P. 1177–1215.Williams, F. A. Combustion Theory / F. A. Williams. — Menlo Park, CA : Benjamin Cummings, 1985. — 708 p.Akkerman V.B., Zaytsev M.L. Snizhenie razmernosti v uravneniyakh gidrodinamiki [Dimension Reduction in Fluid Dynamics Equations]. ZhVMMF, 2011, vol. 51, no. 8, pp. 1518-1530.Velikhov E.P., Kovalev A.S., Rakhimov A.T. Fizicheskie yavleniya v gazorazryadnoy plazme [Physical Phenomena in Gas-Discharge Plasma]. Moscow, Nauka Publ., 1987. 160 p.Zaytsev M.L., Akkerman V.B. Gipoteza ob uproshchenii pereopredelennykh sistem differentsialnykh uravneniy i ee primenenie k uravneniyam gidrodinamiki [Hypothesis on Reduction of Overdetermined Systems of Differential Equations and Its Application to Equations of Hydrodynamics]. Vestnik VGU. Seriya: Fizika. Matematika, 2015, no. 2, pp. 5-27.Zaytsev M.L., Akkerman V.B. K nelineynoy teorii dvizheniya poverkhnostey gidrodinamicheskikh razryvov [Nonlinear Theory for the Motion of Hydrodynamic Discontinuity Surfaces]. ZhETF, 2009, vol. 135, no. 4, pp. 800-819.Zaytsev M.L., Akkerman V.B. Metod opisaniya statsionarnogo fronta reaktsii v dvukhmernom potoke [Method for Describing the Steady-State Reaction Front in a TwoDimensional Flow]. Pisma v ZhETF, 2010, vol. 92, no. 11, pp. 813-816.Zaytsev M.L., Akkerman V.B. Reduktsiya pereopredelennykh sistem differentsialnykh uravneniy matematicheskoy fiziki [Reduction of Overdetermined Differential Equations of Mathematical Physics]. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Physics and Computer Simulation], 2017, vol. 20, no. 4, pp. 43-67. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2017.4.5Zaytsev M.L., Akkerman V.B. Yavnoe predstavlenie sokrashchennykh v razmernosti uravneniy Eylera i Nave — Stoksa neszhimaemoy zhidkosti v integralnoy forme [Explicit Representation of the Euler and Navier − Stokes Equations of an Incompressible Fluid Reduced in Dimension in Integral Form]. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Physics and Computer Simulation], 2022, vol. 25, no. 1, pp. 5-20. DOI: https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2022.1.1Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika: v 10 t. T. VI: Gidrodinamika [Course of Theoretical Physics. Vol. 6: Fluid Mechanics]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 736 p.Zeldovich Ya.B., Barenblat G.I., Librovich V.B., Makhviladze G.M. Matematicheskaya teoriya goreniya i vzryva [Mathematical Theory of Combustion and Explosion]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 478 p.Merzhanov A.G., Khaykin B.I. Teoriya voln goreniya v gomogennykh sredakh [Theory of Combustion Waves in Homogeneous Media]. Chernogolovka, Iz-vo OIKhF RAN Publ., 1992. 162 p.Napartovich A.P., Starostin A.N. Mekhanizmy neustoychivosti tleyushchego razryada povyshennogo davleniya [Mechanisms of Instability of a Glow Discharge of Increased Pressure]. Khimiya plazmy. Moscow, Atomizdat Publ., 1979, iss. 6, pp. 153-208.Nedospasov A.V., Khait V.D. Kolebaniya i neustoychivosti nizkotemperaturnoy plazmy [Oscillations and Instabilities of Low-Temperature Plasma]. Moscow, Nauka Publ., 1979. 168 p.Samarskiy A.A., Popov Yu.P. Raznostnye metody resheniya zadach gazovoy dinamiki [Difference Methods for Solving Problems of Gas Dynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1980. 352 p.Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Izd-vo MGU, 1999. 799 p.Book D.L., Ott E., Sulton A.L. Rayleigh-Taylor Instability in the ‘‘Shallow-Water” Approximation. Phys. Fluids., 1974, vol. 17, no. 4, pp. 676-678.Bychkov V. Nonlinear Equation for a Curved Stationary Flame and the Flame Velocity. Phys. Fluids, 1998, vol. 10, no. 8, pp. 2091-2098.Law C.K. Combustion Physics. N. Y., Cambridge University press, 2006. 720 p.Ott E. Nonlinear Evolution of the Rayleigh − Taylor Instability of Thin Layer. Phys. Rev. Lett., 1972, vol. 29, pp. 1429-1432.Sivashinsky G.I. Nonlinear Analysis of Hydrodynamics Instability in Laminar Flames. Derivation of Basic Equations. Acta Astronaut., 1977, vol. 4, pp. 1177-1215.Williams F.A. Combustion Theory. Menlo Park, CA, Benjamin Cummings, 1985. 708 p.