Работа посвящена численному построению функции Грина бигармонического оператора на единичном квадрате в условиях жесткого защемления границы. Задача моделирует изгиб тонкой упругой пластины Кирхгофа – Лява под действием произвольной поперечной нагрузки. В рамках проекционного метода Галеркина – Ритца проведено сопоставление тригонометрического базиса синус-квадратов и полиномиальной системы на основе смещенных многочленов Лежандра с весовым «пузырьковым» множителем, точно удовлетворяющим однородным краевым условиям. Показаны полнота полиномиальной системы в энергетическом пространстве Н20(Ω), квазиоптимальность приближения по Сеа, точность метода на полиномиальных данных и экспоненциальная (спектральная) скорость сходимости для аналитических решений. Показано, что тригонометрическая система синус-квадратов не является полной в Н20(Ω), замыкание ее линейной оболочки в энергетической норме совпадает с подпространством функций, вторая производная которых симметрична относительно середины отрезка; как следствие, приближения метода Галеркина с этим базисом сходятся лишь для решений с симметричным лапласианом и стагнируют в противном случае. Численный эксперимент подтверждает теоретические выводы и верифицирует алгоритм по классическим эталонным коэффициентам прогиба защемленной квадратной плиты (равномерная нагрузка и сосредоточенная сила). Полиномиальный базис Лежандра обеспечивает высокоточную аппроксимацию старших производных, недостижимую для тригонометрического аналога.

This paper is devoted to the numerical construction of the Green’s function for the biharmonic operator on the unit square under clamped boundary conditions. The problem models the bending of a thin elastic Kirchhoff – Love plate subjected to an arbitrary transverse load. Within the framework of the Galerkin – Ritz projection method, a comparison is made between the trigonometric basis of sine squares and a polynomial system based on shifted Legendre polynomials with a weight “bubble” factor that exactly satisfies the homogeneous boundary conditions. The completeness of the polynomial system in the energy space H02(Ω), the quasi-optimality of the approximation by Cea’s lemma, the exactness of the method on polynomial data, and the exponential (spectral) convergence rate for analytic solutions are demonstrated. It is shown that the trigonometric system of sine squares is not complete in H02(Ω); the closure of its linear span in the energy norm coincides with the subspace of functions whose second derivative is symmetric with respect to the midpoint of the interval. Consequently, the Galerkin approximations with this basis converge only for solutions with a symmetric Laplacian and stagnates otherwise. Numerical experiments confirm the theoretical conclusions and verify the algorithm against classical reference coefficients for the deflection of a clamped square plate (uniform load and concentrated force). The Legendre polynomial basis provides high-accuracy approximation of higher derivatives, which is unattainable for the trigonometric analogue.