Математическая физика и компьютерное моделирование2587-63252587-690210.15688/mpcm.jvolsu.2026.2.4OtherСРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ НЕЙРОСЕТЕВЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ МОДЕЛИ ОДИНОЧНОГО ДИСЛОКАЦИОННОГО ИСТОЧНИКА ГЕОАКУСТИЧЕСКОЙ ЭМИССИИCOMPARATIVE ANALYSIS OF NEURAL NETWORK METHODS FOR SOLVING THE MODEL OF A SINGLE DISLOCATION SOURCE OF GEOACOUSTIC EMISSIONСергиенкоДарья ФаритовнаSergienkoDaryasergienko@ikir.ruhttps://orcid.org/0009-0008-6512-4537Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation,ParatunkaRussian FederationFar Eastern Branch of the Russian Academy of Sciences; Vitus Bering Kamchatka State UniversityPetropavlovsk-KamchatskyRussian FederationИнститут космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАНПаратункаРоссийская ФедерацияКамчатский государственный университет им. Витуса БерингаПетропавловск-КамчатскийРоссийская Федерация2710202629253712004202627072026https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/CC BY 4.0

В данной работе представлен сравнительный анализ вычислительных методов для моделирования одиночного дислокационного источника излучения геоакустической эмиссии – осциллятора Берлаге. Используются численный метод Розенброка четвертого порядка точности, параллельная модификация физико-информированной нейронной сети на три субдомена (TriDomainPINN), а также нейронная сеть на основе полиномов Лежандра (LeNN) для решения модели геоакустической эмиссии. Параллельная версия PINN позволяет повысить эффективность построения решения и сократить время обучения за счет декомпозиции области моделирования. Все алгоритмы реализованы на языке Python с использованием библиотеки PyTorch. Применяются механизм ранней остановки обучения сетей и распределение точек коллокации по закону Чебышева. Для каждого метода проведена оценка точности, скорости сходимости и вычислительной эффективности. Численные эксперименты показывают, что полиномиальная сеть Лежандра обеспечивает высокую точность аппроксимации при значительном сокращении вычислительных затрат и времени.

This paper presents a comparative analysis of computational methods for modeling a single dislocation source of geoacoustic emission radiation, the Berlage oscillator. The paper considers the Rosenbrock numerical method of the fourth order of accuracy, a parallel modification of a physically informed neural network into three subdomains (TriDomainPINN), as well as a neural network based on Legendre polynomials (LeNN). The parallel version of PINN makes it possible to increase the efficiency of the solution and reduce the learning time by decomposing the modeling area. All algorithms are implemented in Python using the PyTorch library; the implementation provides a mechanism for early stopping of network training and the distribution of collocation points according to Chebyshev’s law. Accuracy, convergence rate, and computational efficiency were evaluated for each method. Numerical experiments show that the Legendre polynomial network provides high approximation accuracy with a significant reduction in computational costs and time.

полиномиальные нейронные сетиPINNMLPLeNNимпульс Берлагеортогональные полиномымашинное обучениеаппроксимация сигналовpolynomial neural networksPINNMLPLeNNBerlage pulseorthogonal polynomialsmachine learningsignal approximationИсследование выполнено при поддержке государственного задания ИКИР ДВО РАН № 124012300245-2. Тема «Взаимодействие физических процессов в системе ближнего космоса и геосфер» (2024–2028 гг.).Гапеев, М. И. Связанные осцилляторы как модель высокочастотной геоакустической эмиссии / М. И. Гапеев, А. А. Солодчук, Р. И. Паровик // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. – 2022. – Т. 40, № 3. – C. 88–100. – DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-88-100Кузьмин, Н. М. Эффективность параллельных вычислений гравитационных сил методом TreeCode в моделях N-тел / Н. М. Кузьмин, Д. С. Сиротин, А. В. Хоперсков // Математическая физика и компьютерное моделирование. – 2024. – Т. 27, № 4. – C. 5–18. – DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2024.4.4Сергиенко, Д. Ф. Сравнение эффективности численных методов и нейросетевого подхода к исследованию математической модели высокочастотной геоакустической эмиссии с одним дислокационным источником / Д. Ф. Сергиенко, Р. И. Паровик // Успехи кибернетики. – 2025. – Т. 6, № 4. – C. 106–113.Сергиенко, Д. Ф. Исследование эффективности численных методов для решения математической модели высокочастотной геоакустической эмиссии / Д. Ф. Сергиенко, Р. И. Паровик // Вестник КРАУНЦ. Физико-математические науки. – 2025. – Т. 50, № 1. – C. 169–183. – DOI: 10.26117/2079-6641-2025-50-1-169-183Сергиенко, Д. Ф. Моделирование высокочастотной геоакустической эмиссии с помощью осциллятора Берлаге / Д. Ф. Сергиенко, Р. И. Паровик // Вестник ДГУ. Серия 1, Естественные науки. – 2025. – Т. 40, № 3. – C. 29–43. – DOI: 10.21779/2542-0321-2025-40-3-29-43Храпов, С. С. Численное моделирование двумерных газодинамических течений в многокомпонентных неравновесных средах / С. С. Храпов // Математическая физика и компьютерное моделирование. – 2025. – Т. 28, № 1. – C. 60–87. – DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2025.1.5Aziz, A. A. H. A. A Shifted Chebyshev Neural Network Approach for Nonlinear Variable-Order Fractional Differential Equations / A. A. H. A. Aziz, N. Senu, N. E. Zamri // Computational and Applied Mathematics. – 2026. – Vol. 45. – P. 262. – DOI: 10.1007/s40314-026-03650-3Chen, J. Improved Modeling and Generalization Capabilities of Graph Neural Networks with Legendre Polynomials / J. Chen, L. Xu // IEEE Access. – 2023. – Vol. 11. – P. 63442–63450.Grohs, P. Space-time Error Estimates for Deep Neural Network Approximations for Differential Equations / P. Grohs, F. Hornung, A. Jentzen // Advances in Computational Mathematics. – 2023. – Vol. 49, № 4. – P. 1–78. – DOI: 10.1007/s10444-022-09970-2Hendrycks, D. Gaussian Error Linear Units (GELUs) / D. Hendrycks, K. Gimpel // arXiv preprint. – 2016. – P. arXiv:1606.08415.Kaps, P. Rosenbrock Methods Using Few LU-Decompositions Get Access Arrow / P. Kaps, A. Ostermann // Journal of Numerical Analysis. – 1989. – Vol. 9. – P. 15–27. – DOI: 10.1093/imanum/9.1.15Khan, N. A. Application of Legendre Polynomials Based Neural Networks for the Analysis of Heat and Mass Transfer of a Non-Newtonian Fluid in a Porous Channel / N. A. Khan, M. Sulaiman, P. Kumam // Advances in Continuous and Discrete Models. – 2022. – Vol. 2022. – P. 7. – DOI: 10.1186/s13662-022-03676-xDDR-PINN: A Dynamic Domain – Gradient Reweighting Physics-Informed Neural Network / S. Lei, B. Gulnar, C. Yang, N. Kunicina, R. Grants, U. Grunde // Applied Sciences. – 2026. – Vol. 16. – P. 2366. – DOI: 10.3390/app16052366Liu, Z. Neural Network as a Function Approximator and Its Application in Solving Differential Equations / Z. Liu, Y. Yang, Q. Cai // Applied Mathematics and Mechanics (English Edition). – 2019. – Vol. 40. – P. 237–248. – DOI: 10.1007/s10483-019-2429-8Moseley, B. Finite Basis Physics-Informed Neural Networks (FBPINNs): A Scalable Domain Decomposition Approach for Solving Differential Equations / B. Moseley, A. Markham, T. Nissen-Meyer // Advances in Computational Mathematics. – 2023. – Vol. 49. – P. 62. – DOI: 10.1007/s10444-023-10065-9Pao, Y. H. The Functional Link Net and Learning Optimal Control / Y. H. Pao, S. M. Phillips // Neurocomputing. – 1995. – Vol. 9, № 2. – P. 149–164.Parovik, R. Algorithms for Solving Ordinary Differential Equations Based on Orthogonal Polynomial Neural Networks / R. Parovik // Algorithms. – 2026. – Vol. 19. – P. 82. – DOI: 10.3390/a19010082Ponalagusamy, R. A Parallel Fourth Order Rosenbrock Method: Construction, Analysis and Numerical Comparison / R. Ponalagusamy, K. Ponnammal // International Journal of Applied and Computational Mathematics. – 2015. – Vol. 1. – P. 45–68. – DOI: 10.1007/s40819-014-0002-xSergienko, D. Berlage Oscillator as a Mathematical Model of High-Frequency Geoacoustic Emission with One Dislocation Source / D. Sergienko, R. Parovik // Acoustics. – 2025. – Vol. 7, № 65. – DOI: 10.3390/acoustics7040065Improvement of Methods for Sparse Model Identification of Pulsed Geophysical Signals / A. Tristanov, O. Lukovenkova, Yu. Marapulets, A. Kim // Proceedings of SPA 2019. – 2019. – P. 256–260. – DOI: 10.23919/SPA.2019.8936817A General Method for Solving Differential Equations of Motion Using Physics-Informed Neural Networks / W. Zhang, P. Ni, M. Zhao, X. Du // Applied Sciences. – 2024. – Vol. 14. – P. 7694. – DOI: 10.3390/app14177694Lin, C.-H. Wind Turbine Driving a PM Synchronous Generator Using Novel Recurrent Chebyshev Neural Network Control with the Ideal Learning Rate / C.-H. Lin // Energies. – 2016. – Vol. 9, № 6. – P. 441. – DOI: 10.3390/en9060441Liu, Z. Neural Network as a Function Approximator and its Application in Solving Differential Equations / Z. Liu, Y. Yang, Q. Cai // Appl. Math. Mech.-Engl. Ed. – 2019. – Vol. 40. – P. 237–248. – DOI: https://doi.org/10.1007/s10483-019-2429-8Mostovoy, V. S. Estimation of the Parameters of Seismic Waves / V. S. Mostovoy, S. V. Mostoviy // Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine. – 2014. – Vol. 2. – P. 118–123.Mostovoy, V. Optimization of the Dynamic Parameters of an Object in a Mathematical Model of Seismo-Acoustic Monitoring of Natural and Engineering Objects / V. Mostovoy, S. Toliupa, A. Shevchenko // Science-Based Technologies. – 2023. – Vol. 58, № 2. – P. 112. – DOI: 10.18372/2310-5461.58.17647Toliupa, S. Mathematical Model of Physically Realizable Seismic Signals / S. Toliupa // Information Technology and Implementation (IT&Is-2023). – 2023. – P. 126.Gapeev M.I., Solodchuk A.A., Parovik R.I. Coupled Oscillators as a Model of High-Frequency Geoacoustic Emission. Vestnik KRAUNTs. Fiziko-matematicheskie nauki, 2022, vol. 40, no. 3, pp. 88-100. DOI: 10.26117/2079-6641-2022-40-3-88-100Kuzmin N.M., Sirotin D.S., Khoperskov A.V. Efficiency of Parallel Computations of Gravitational Forces by Treecode Method in N-Body Models. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Models and Computer Simulations], 2024, vol. 27, no. 4, pp. 5-18. DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2024.4.4Sergienko D.F., Parovik R.I. Comparison of Numerical Methods and Neural Network Approaches for Simulating High-Frequency Geoacoustic Emission from a Single Dislocation Source. Uspekhi kibernetiki, 2025, vol. 6, no. 4, pp. 106-113.Sergienko D.F., Parovik R.I. Investigation of the Effectiveness of Numerical Methods for Solving a Mathematical Model of High-Frequency Geoacoustic Emission. Vestnik KRAUNTs. Fizikomatematicheskie nauki, 2025, vol. 50, no. 1, pp. 169-183. DOI: 10.26117/2079-6641-2025-50-1-169-183Sergienko D.F., Parovik R.I. Modelling of High-Frequency Geoacoustic Emission Using the Berlage Oscillator. Vestnik DGU. Seriya 1, Estestvennye nauki, 2025, vol. 40, no. 3, pp. 29-43. DOI: 10.21779/2542-0321-2025-40-3-29-43Khrapov S.S. Numerical Modeling of Two-Dimensional Gas-Dynamic Flows in Multicomponent Nonequilibrium Media. Matematicheskaya fizika i kompyuternoe modelirovanie [Mathematical Models and Computer Simulations], 2025, vol. 28, no. 1, pp. 60-87. DOI: 10.15688/mpcm.jvolsu.2025.1.5Aziz A.A.H.A., Senu N., Zamri N.E. A Shifted Chebyshev Neural Network Approach for Nonlinear Variable-Order Fractional Differential Equations. Computational and Applied Mathematics, 2026, vol. 45, pp. 262. DOI: 10.1007/s40314-026-03650-3Chen J., Xu L. Improved Modeling and Generalization Capabilities of Graph Neural Networks with Legendre Polynomials. IEEE Access, 2023, vol. 11, pp. 63442-63450.Grohs P., Hornung F., Jentzen A. Space-Time Error Estimates for Deep Neural Network Approximations for Differential Equations. Advances in Computational Mathematics, 2023, vol. 49, no. 4, pp. 1-78. DOI: 10.1007/s10444-022-09970-2Hendrycks D., Gimpel K. Gaussian Error Linear Units (GELUs). arXiv preprint, 2016, pp. arXiv:1606.08415.Kaps P., Ostermann A. Rosenbrock Methods Using Few LU-Decompositions Get Access Arrow. Journal of Numerical Analysis, 1989, vol. 9, pp. 15-27. DOI: 10.1093/imanum/9.1.15Khan N.A., Sulaiman M., Kumam P. Application of Legendre Polynomials Based Neural Networks for the Analysis of Heat and Mass Transfer of a Non-Newtonian Fluid in a Porous Channel. Advances in Continuous and Discrete Models, 2022, vol. 2022, pp. 7. DOI: 10.1186/s13662-022-03676-xLei S., Gulnar B., Yang C., Kunicina N., Grants R., Grunde U. DDR-PINN: A Dynamic Domain – Gradient Reweighting Physics-Informed Neural Network. Applied Sciences, 2026, vol. 16, pp. 2366. DOI: 10.3390/app16052366Liu Z., Yang Y., Cai Q. Neural Network as a Function Approximator and Its Application in Solving Differential Equations. Applied Mathematics and Mechanics (English Edition), 2019, vol. 40, pp. 237-248. DOI: 10.1007/s10483-019-2429-8Moseley B., Markham A., Nissen-Meyer T. Finite Basis Physics-Informed Neural Networks (FBPINNs): A Scalable Domain Decomposition Approach for Solving Differential Equations. Advances in Computational Mathematics, 2023, vol. 49, pp. 62. DOI: 10.1007/s10444-023-10065-9Pao Y.H., Phillips S.M. The Functional Link Net and Learning Optimal Control. Neurocomputing, 1995, vol. 9, no. 2, pp. 149-164.Parovik R. Algorithms for Solving Ordinary Differential Equations Based on Orthogonal Polynomial Neural Networks. Algorithms, 2026, vol. 19, p. 82. DOI: 10.3390/a19010082Ponalagusamy R., Ponnammal K. A Parallel Fourth Order Rosenbrock Method: Construction, Analysis and Numerical Comparison. International Journal of Applied and Computational Mathematics, 2015, vol. 1, pp. 45-68. DOI: 10.1007/s40819-014-0002-xSergienko D., Parovik R. Berlage Oscillator as a Mathematical Model of High-Frequency Geoacoustic Emission with One Dislocation Source. Acoustics, 2025, vol. 7, no. 65. DOI: 10.3390/acoustics7040065Tristanov A., Lukovenkova O., Marapulets Yu., Kim A. Improvement of Methods for Sparse Model Identification of Pulsed Geophysical Signals. Proceedings of SPA 2019, 2019, pp. 256-260. DOI: 10.23919/SPA.2019.8936817Zhang W., Ni P., Zhao M., Du X. A General Method for Solving Differential Equations of Motion Using Physics-Informed Neural Networks. Applied Sciences, 2024, vol. 14, p. 7694. DOI: 10.3390/app14177694Lin C.-H. Wind Turbine Driving a PM Synchronous Generator Using Novel Recurrent Chebyshev Neural Network Control with the Ideal Learning Rate. Energies, 2016, vol. 9, no. 6, p. 441. DOI: 10.3390/en9060441Liu Z., Yang Y., Cai Q. Neural Network as a Function Approximator and Its Application in Solving Differential Equations. Appl. Math. Mech.-Engl. Ed., 2019, vol. 40, pp. 237-248. DOI: https://doi.org/10.1007/s10483-019-2429-8Mostovoy V.S., Mostoviy S.V. Estimation of the Parameters of Seismic Waves. Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2014, vol. 2, pp. 118-123.Mostovoy V., Toliupa S., Shevchenko A. Optimization of the Dynamic Parameters of an Object in a Mathematical Model of Seismo-Acoustic Monitoring of Natural and Engineering Objects. Science-Based Technologies, 2023, vol. 58, no. 2, p. 112. DOI: 10.18372/2310-5461.58.17647Toliupa S. Mathematical Model of Physically Realizable Seismic Signals. Information Technology and Implementation (IT&Is-2023), 2023, p. 126.