Клячин В.А. Неравенство Йенсена как критерий выпуклости непрерывной функции
Рейтинг:
/ 0
- Подробности
- Просмотров: 27
https://doi.org/10.15688/mpcm.jvolsu.2025.1.1
Владимир Александрович Клячин
Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой компьютерных наук и экспериментальной математики,
Волгоградский государственный университет
Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.
,
Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.
,
https://orcid.org/0000-0003-1922-7849
просп. Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация
Аннотация. Многие неравенства математики могут быть выведены из нескольких базовых неравенств. К таким неравенствам относится классическое интегральное неравенство Йенсена, применяемое для получения разнообразных оценок интегралов функций, принадлежащих различным классам. Например, частный случай интегрального неравенства Гельдера для функций класса L p , p ≥ 1 может быть получен как следствие неравенства Йенсена, откуда легко выводится вложение пространств L q ⊂ L p , 1 ≤ q ≤ p. В терминах вероятностной меры неравенство Йенсена утверждает, что значение выпуклой вниз функции в точке математического ожидания векторной случайной величины ξ не превосходит математического ожидания этой выпуклой функции от случайной величины ξ: f(Eξ) ≤ Ef(ξ). В настоящей статье доказывается, что если неравенство Йенсена выполняется для непрерывной функции f для любого симплекса, то функция f является выпуклой вниз. В статье вводится понятие дефекта выпуклости непрерывной функции, так, что он является отрицательным для выпуклых функций. Используя линейные свойства дефекта выпуклости, доказан интегральный признак δ-выпуклости непрерывной функции. Он утверждает, что если дефект выпуклости не превосходит квадратичной функции от диаметра симплекса, то функция δ-выпукла. Из этого признака получается интегральное условие дважды почти всюду дифференцируемости непрерывной функции.
Ключевые слова: выпуклые функции, неравенство Йенсена, геометрический центр, весовой центр масс, δ-выпуклые функции
Произведение «Преобразование систем уравнений в частных производных к системам квазилинейных и линейных дифференциальных уравнений. Их редукция и унификация», созданное авторами по имени Зайцев М.Л., Аккерман В.Б., публикуется на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
Цитата: Математическая физика и компьютерное моделирование. Том 28 № 1 2025, с. 5-13
 klyachin.pdfURL: https://mp.jvolsu.com/index.php/ru/component/attachments/download/1219 | 20 Скачивания |